GeoGebra töölehe loomise juhend: 2-5 arvu aritmaatiline keskmine (Mai 2024)
Tähendab, matemaatika, koguses, mis on väärtus vahepeale äärmuslik liikmed mõned komplekti. Keskmist on mitut tüüpi ja keskmise arvutamise meetod sõltub suhetest, mida teatakse või eeldatakse, et nad valitsevad teisi liikmeid. N-numbrite komplekti x 1, x 2 aritmeetiline keskmine, tähistatud x,
, x n määratletakse arvuga, mis jagatakse n-ga:
Aritmeetiline keskmine (tavaliselt keskmise sünonüüm) tähistab punkti, milles arvud tasakaalustuvad. Näiteks kui ühikumassid asetatakse joonele punktides, mille koordinaadid on x 1, x 2,
, x n, siis on aritmeetiline keskmine süsteemi raskuskeskme koordinaat. Statistikas kasutatakse aritmeetilist keskmist tavaliselt andmekogumile tüüpilise üksikväärtusena. Ebavõrdse massiga osakeste süsteemi korral määratakse raskuskese üldisema keskmise, kaalutud aritmeetilise keskmise abil. Kui igale numbrile (x) omistatakse vastav positiivne mass (w), määratletakse kaalutud aritmeetiline keskmine nende korrutiste summa (wx) jagatuna nende kaalu summaga. Sel juhul, Kaalutud aritmeetilist keskmist kasutatakse ka grupeeritud andmete statistilises analüüsis: iga arv x i on intervalli keskpunkt ja iga vastav väärtus w i on andmepunkti arv selles intervallis.
Antud andmekomplekti jaoks saab määratleda palju võimalikke vahendeid, sõltuvalt sellest, millised andmete omadused pakuvad huvi. Oletame näiteks, et antakse viis ruutu, mille küljed on 1, 1, 2, 5 ja 7 cm. Nende keskmine pindala on (1 2 + 1 2 + 2 2 + 5 2 + 7 2) / 5 ehk 16 ruut cm, külje ruudu pindala on 4 cm. Numbriga 4 on ruutkeskmise (või ruutkeskmine väärtus) arvude 1, 1, 2, 5 ja 7 ning erineb nende aritmeetiline keskmine, mis on 3 1 / 5. Üldiselt ruutkeskmise n numbrid x 1, x 2,
, x n on nende ruutude aritmeetilise keskmise ruutjuur; Aritmeetiline keskmine ei näita, kui laialdaselt on andmed keskmise kohta levinud või hajutatud. Dispersiooni mõõtmed saadakse n erinevuse x 1 - x, x 2 - x aritmeetilise ja ruutkeskmise abil,
, x n - x. Ruutkeskmine annab standardhälbe x 1, x 2,
, x n.
Aritmeetiline ja ruutkeskmine väärtus on p-võimsuse keskmise väärtuse M p erijuhud p = 1 ja p = 2, kus p on valem, kus p võib olla mis tahes tegelik arv, välja arvatud null. Juhtumit p = −1 nimetatakse ka harmooniliseks keskmiseks. Kaalutud pth-jõu keskväärtused määratletakse valemiga
Kui x on x 1 ja x 2 aritmeetiline keskmine, siis on kolm numbrit x 1, x, x 2 aritmeetilises progressioonis. Kui h on x 1 ja x 2 harmooniline keskmine, siis arvud x 1, h, x 2 on harmoonilises progressioonis. Arvu g, mille korral x 1, g, x 2 on geomeetrilises progressioonis, määratletakse tingimusega, et x 1 / g = g / x 2 või g 2 = x 1 x 2; seega
Seda g nimetatakse x 1 ja x 2 geomeetriliseks keskmiseks. Geomeetriline keskmine n numbrid x 1, x 2,
, x n on nende toote n-ö juur:
Kõik käsitletud vahendid on üldisema erijuhtumi juhtumid. Kui f on funktsioon, millel on pöördvõrdeline f −1 (funktsioon, mis “alistab algfunktsiooni”), siis arv
nimetatakse keskväärtuseks x 1, x 2,
, x n seotud f-ga. Kui f (x) = x p, on pöördväärtus f −1 (x) = x 1 / p ja keskmine väärtus on pth-võimsuse keskmine, M p. Kui f (x) = ln x (naturaalne logaritm), on pöördväärtus f −1 (x) = e x (eksponentsiaalfunktsioon) ja keskmine väärtus on geomeetriline keskmine.
Keskmise eri määratluste väljatöötamise kohta teabe saamiseks vaadake tõenäosust ja statistikat. Lisateabe saamiseks vaadake statistikat ja tõenäosusteooriat.
